Окружность Аполлония

Проиллюстрируем, как читатель может использовать результаты этой энциклопедии и другие компьютерно-генерируемые результаты. Компьютерно-генерируемые результаты, указанные ниже и не включенные в первый выпуск, будут включены в следующие выпуски.

Окружность Аполлония треугольника - это окружность, касающаяся внутренним образом каждой из трех вневписанных окружностей. См. рисунок:

Есть множество способов для построения окружности Аполлония с помощью циркуля и линейки. Известна Задача Аполлония для трех заданных окружностей: Даны три произвольные окружности. Построить окружность, которая касается каждой из этих окружностей. Есть несколько методов, чтобы решить задачу. См., например, Dekov Software Geometric Constructions. Чтобы построить окружность Аполлония, мы можем использовать один из этих методов.

Есть несколько дополнительных способов построения окружности Аполлония. Эти дополнительные методы опираются на то, что данные окружности не являются произвольными, а являются вневписанными окружностями данного треугольника. Мы увидим несколько таких методов ниже.

Читатель может обратиться к программе Dekov Software Geometric Constructions с подробным описанием построений.

1. Построение центра и радиуса

Если мы построим центр и радиус окружности, то мы построим окружность. Из страницы Теоремы, Точки, Центр окружности Аполония мы видим, что можно построить центр окружности Аполлония как точку пересечения прямой Аполлония и оси Брокара (результат известен, см. Kimberling's ETC [1]). Известно, что радиус окружности Аполлония равен

(M. R. Stevanovic [2]) Мы можем построить радиус. Следовательно, мы можем построить окружность Аполлония.

Отметим, что в методах ниже мы не должны строить вневписанные окружности.

2. Построение центра и точки на окружности

Мы можем построить центр окружности Аполония (см. предыдущий пункт). Тогда мы можем построить одну вневписанную окружность, например, A-вневписанную окружность. Точка пересечения прямой, проходящей через центр окружности Аполония, и A-вневписанной окружности лежит на окружности Аполлония (компьютерно-генерируемый результат; этот результат очевиден). Следовательно, мы можем построить окружность Аполлония.

3. Построение трех точек окружности

Если мы построим три точки окружности, то мы построим окружность, проходящую через эти три точки. Три точки касания окружности Аполлония с каждой из вневписанных окружностей являются вершинами треугольника Аполлония. Следовательно, мы можем построить треугольник Аполлония, и тогда построим его описанную окружность, которая является окружностью Аполлония.

Есть много методов построения треугольника. Мы можем использовать следующий метод: Если треугольник перспективен двум другим треугольникам и если мы можем построить эти треугольники и соответствующие перспекторы, то мы можем построить треугольник. Треугольник Аполлония перспективен

(1) треугольнику АВС; перспектор - точка Аполлония (это есть определение точки Аполлония);

(2) треугольнику Фейербаха; перспектор - центр Шпикера (компьютерно-генерируемый результат не включен в первую версию этой энциклопедии; этот результат известен ?)

(3) симедианному треугольнику; перспектор - изотомическое дополнение ортоцентра вписанно-касательного треугольника (компьютерно-генерируемый результат не включен в первую версию этой энциклопедии; этот результат известен ?)

(4) внецентральному треугольнику; перспектор - центр окружности Аполлония (компьютерно-генерируемый результат не включен в первую версию этой энциклопедии; этот результат очевиден).

Из страницы Теоремы, Точки, Точка Аполлония, мы можем увидеть несколько способов построения точки Аполлония:

(1) Построение точки Аполлония как изогональное сопряжение изотомического сопряжения второй точки Фейербаха (компьютерно-генерируемый результат, этот результат известен ?) См. рисунок:

F - вторая точка Фейербаха.
P - изотомическое сопряжение F.
X - изогональное сопряжение P = Точка Аполлония.
A₁B₁C₁ - треугольник Аполлония.

(2) Построение точки Аполлония как Ю (Yiu) сопряжение точки симедиан и второй точки Фейербаха (компьютерно-генерируемый результат, этот результат известен ?) См. рисунок:

F - вторая точка Фейербаха.
S - точка симедиан.
X - Ю (Yiu) сопряжение F и S = Точка Аполлония.
A₁B₁C₁ - треугольник Аполлония.

(3) Построение точки Аполлония как точки пересечения прямой, проходящей через инцентр и центр окружности Аполлония (прямая Аполлония), и прямой, проходящей через центр описанной окружности и точку симедиан (ось Брокара) (компьютерно-генерируемый результат, этот результат известен, см. C.Kimberling [1]).

Мы можем построить треугольник Аполлония, используя любые вышеупомянутые пары треугольников. Четыре треугольника дают нам 6 способов построения треугольника Аполлония. (Расширенное компьютерное исследование, вероятно, дало бы нам немного дополнительных треугольников.)

Возьмем два первых треугольника из вышеупомянутого списка, это треугольник АВС и треугольник Фейербаха A₁B₁C₁, мы можем построить треугольник Аполлония A₂B₂C₂ следующим образом: построим точку Аполлония X и центр Шпикера S. Построим A₂ как точку пересечения прямых AX и SA₁. Аналогично построим B₂ и C₂. Теперь мы можем построить окружность Аполлония как описанную окружность треугольника Аполлония. См. рисунок:

S - центр Шпикера.
X - точка Аполлония.
A₁B₁C₁ - треугольник Фейербаха.
A₂B₂C₂ - треугольник Аполлония.

4. Окружность Аполлония как образ окружности при инверсии

Теорема из страницы Теоремы, Окружности, Окружность Аполлония утверждает, что окружность Аполлония - инверсия окружности девяти точек относительно радикальной окружности вневписанных окружностей. Следовательно, мы можем построить окружность Аполлония.

Результат выше - известен (P. Yiu [3]), но следующий результат, вероятно, не известен. Если мы сделаем запрос, чтобы компьютер сделал более глубокое исследование, то мы получим следующий результат (не включен в первую версию этой энциклопедии; этот результат известен ?):

Окружность Аполлония равна окружности, полученной при инверсии окружности Бевэна относительно радикальной окружности вневписанных окружностей антидополнительного треугольника.

Обозначим буквой c окружность, полученную при инверсии окружности Бевэна относительно радикальной окружности вневписанных окружностей антидополнительного треугольника.

Теперь нам понадобится отношение между двумя точками: центр окружности Аполония и центр окружности c. Мы делаем запрос компьютеру и получаем несколько отношений, например,

центр окружности c есть дополнение симметрии инцентра относительно центра окружности Аполония (этот результат не включен в первую версию этой энциклопедии; этот результат известен ?).

Теперь мы можем построить окружность Аполлония следующим образом. Сначала построим окружность c. Затем построим центр окружности Аполония как среднюю точку между инцентром и антидополнением центра окружности c. Наконец, построим окружность Аполлония. См. рисунок:

Ja, Jb, Jc - центры вневписанных окружностей.
cB - окружность Бевэна.
красный треугольник - антидополнительный треугольник.
cR - радикальная окружность вневписанных окружностей антидополнительного треугольника.
c - окружность, полученная при инверсии окружности Бевэна относительно радикальной окружности вневписанных окружностей антидополнительного треугольника.
Три точки на окружности c являются образами Ja, Jb, Jc при инверсии относительно окружности cR. (Сначала мы построим эти три точки, затем мы построим окружность c как окружность, проходящую через эти точки.)
K - центр окружности c.
P - антидополнение K.
I - инцентр.
O - средняя точка отрезка IP = Центр окружности Аполония.
cA - окружность Аполлония = Окружность с центром O и радиусом, равным радиусу окружности c.

5. Использование центров подобия окружности Аполлония и другой окружности

Если мы построим окружность и два центра подобия окружности и окружности Аполлония, то мы построим окружность Аполлония следующим образом. Сначала построим центр окружности Аполония как гармоническое сопряжение центра построенной окружности относительно центров подобия. Тогда построим окружность Аполлония.

Например, мы можем использовать описанную окружность. Центры подобия могут быть построены следующим образом: Построим внутренний центр подобия описанной окружности и окружности Аполлония как точку пересечения прямой, проходящей через центр описанной окружности и точку симедиан (ось Брокара), и прямой, проходящей через ортоцентр и серединную точку Жергона. (компьютерно-генерируемый результат, не включен в первую версию этой энциклопедии; результат известен, см. C.Kimberling [1]). Построим внешний центр подобия описанной окружности и окружности Аполлония как точку пересечения прямой, проходящей через инцентр и центроид (прямая Нагеля), и прямой, проходящей через центр описанной окружности и точку симедиан (ось Брокара). (компьютерно-генерируемый результат, не включен в первую версию этой энциклопедии; результат известен, см. C.Kimberling [1]). Теперь построим центр окружности Аполония как гармоническое сопряжение центра описанной окружности относительно центров подобия, и тогда построим окружность Аполлония.

Мы можем использовать другие окружности вместо описанной окружности.

Заключительные замечания

Выше перечисленные методы могли быть получены в результате следующего общего метода. Если мы собираемся построить геометрический объект, то сначала мы должны расспросить компьютерную программу о свойствах этого объекта. Компьютерная программа может ответить на вопрос. Если мы нуждаемся в небольшом количестве дополнительной информации, то мы можем спросить снова, и так далее. Тогда мы можем использовать свойства для построения объекта. Все построения выше были получены этим способом. Следовательно, мы можем заменить методы, используемые к настоящему времени (изобретательность) новым методом "вопрос-ответ". В итоге компьютер решит задачу для нас. Следовательно, вместо этой изобретательности, теперь мы имеем АЛГОРИТМ для нахождения решения задачи на построение.

Ссылки

C. Kimberling, Encyclopedia Triangle Centers, available at http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/.
M. R. Stevanovic, The Apollonius circle and related triangle centers, Forum Geometricorum, vol. 3, 2003, pp.187-195.
P. Yiu, Hyacintos message 4619, January 1, 2002.